KASUS K-SAMPEL INDEPENDEN : ANALISIS VARIAN RANGKING SATU ARAH KRUSKAL-WALLIS

ANALISIS VARIAN RANGKING SATU ARAH KRUSKAL-WALLIS

Pendahuluan

            Uji Kruskal Wallis (analisis varians satu arah berdasarkan ranking) adalah suatu pengujian dalam menentukan apakah  sampel independen berasal dari populasi yang berbeda. Uji ini menguji hipotesis nol yang menyatakan bahwa sampel berasal dari populasi yang sama atau dari populasi identik dalam hal harga rata-ratanya. Uji ini membuat anggapan bahwa variable yang dipelajari mempunyai distribusi kontinyu. Uji ini menuntut pengukuran variabelnya paling lemah dalam skala ordinal.

Metodologi

Dalam penerapan Uji Kruskal-Wallis, nilai setiap sampel () diletakkan pada tabel yang tiap kolomnya mewakili sampel atau kelompok. Data yang sudah tertata akan menjadi tabel seperti berikut :

Kelompok/sampel
1	2	.....
		...
...	...	...	...
		...

 adalah data untuk observasi ke- pada kelompok ke- dan  adalah jumlah observasi pada kelompok ke-. Besarnya  untuk setiap sampel/kelompok tidak harus sama.

Pada perhitungan uji Kruskal-Wallis, semua nilai/skor dari seluruh  sampel disatukan dan dirangking secara menyeluruh dalam satu sistem perangkingan. Nilai terkecil diganti dengan rangking 1 , nilai terkecil kedua menjadi rangking 2 dan seterusnya sampai nilai terbesar diganti dengan rangking , dimana  adalah jumlah total observasi independen pada  sampel atau banyak sampel dalam semua populasi. Jika sudah selesai perangkingan, jumlahkan rangking dalam setiap kolom.

Untuk menghitung statistik Kruskal-Wallis berikut rumusnya :

Keterangan :

 banyak kelompok

 banyak sampel ke-

 banyak sampel dalam semua populasi atau total

 jumlah rangking pada populasi ke- ()

 rata-rata rangking ke-

Observasi-observasi Berangka Sama

Ketika terdapat dua atau lebih nilai yang sama, maka setiap nilai yang sama tersebut diberi rangking rata-ratanya. Karena varians dari statistik Kruskal-Wallis dipengaruhi oleh rangking kembar, maka untuk mengoreksi efek dari rangking kembar diperhitungkan statistik Kruskal-Wallis () yang dibagi dengan faktor koreksi.

Faktor koreksi :

Keterangan :

 ( banyak observasi-observasi berangka sama dalam serangkaian rangking sama)

 banyak observasi dalam seluruh  sampel

Sehingga statistik uji Kruskal-Wallis () menjadi :

Dengan adanya faktor koreksi untuk angka sama ini, harga  ditingkatkan dan dengan demikian hasilnya lebih signifikan bila dibandingkan dengan koreksi tidak diadakan.

           

Untuk kasus sampel kecil dengan  dan banyak kasus dalam masing-masing sampelnya lima atau kurang, kemungkinan yang eksak telah ditabelkan dari rumus  tersebut. Harga-harga kemungkinan ini disajikan dalam Tabel O. Kolom pertama dari tabel tersebut berisi banyak kasus dari ketiga sampel yang mungkin yaitu  dan . Kolom kedua memuat berbagai harga . Kolom ketiga menyajikan kemungkinan yang berkaitan dengan munculnya di bawah  harga-harga sebesar  observasi.

Sehingga wilayah kritisnya yaitu Tolak  jika  atau .

            Jika salah satu ketentuan pada sampel kecil tidak terpenehi, maka tingkat signifikansi harga observasi  dapat ditentukan dengan melihat Tabel C (Tabel Chi-Square) dengan derajat bebas .

Sehingga wilayah kritisnya yaitu Tolak  jika  atau .

Prosedur Uji Kruskal-Walis

1.      Tentukan hipotesisnya

 sampel berada pada populasi yang sama

 sampel berda pada populasi yang berbeda (minimal ada satu yang berbeda)

2.   Tentukan tingkat signifikansi ().

3.   Masukkan nilai-nilai ke dalam table  kolom lalu rangking seluruh nilai tersebut dari 1 sampai  (dari nilai terkecil ke nilai terbesar).

4.   Hitunglah statistik uji ().

5.      Tentukan wilayah kritis nya, Tolak  jika  

ü   untuk sampel kecil  dan  lihat table Kruskal Wallis (Tabel O).

ü   jika salah sati ketentuan sampel kecil tidak terpenuhi, pakailah table Chi-Square dengan .

6.      Buat kesimpulan dari sampel yang diambil tersebut.

Kekuatan Efisiensi

            Tes Kruskal-Wallis ini lebih efisien daripada perluasan tes median karena tes ini menggunakan lebih banyak informasi dalam observasi-observasinya, mengubah skor menjadi rangking dan bukan hanya memisah-duakan skor-skor itu sebagai skor diatas median dan di bawah median.

Contoh Soal

A.    Sampel Kecil (n ≤ 5)

Misalkan seorang peneliti bidang pendidikan hendak menguji hipotesis bahwa pihak administrator sekolah biasanya lebih bersifat otoriter daripada guru-guru kelas. Sungguhpun demikian peneliti itu tahu bahwa data yang dipakai untuk menguji hipotesis ini mungkin “dikotori” oleh kenyataan bahwa banyak guru kelas yang memiliki orientasi administratif.  Artinya banyak guru menganggap para administrator sebagai reference group. Untuk menghindari pengotoran itu dia merancang untuk membagi 14 subjeknya ke dalam tiga kelompok: guru berorientasi sebagai guru saja, guru berorientasi administratif dan para administratif.

Guru Berorientasi Pengajaran	Guru Berorientasi Administrasi	Administrator
96	82	115
128	124	149
83	132	166
61	135	147
101	109

1.      Hipotesis
H0 : Tidak ada perbedaan di antara skor rata-rata dari ketiga kelompok­ Pendidik.
H1 : Terdapat perbedaan di antara skor rata-rata dari ketiga kelompok Pendidik.

2.      Taraf Signifikansi α = 5%

3.       Statistik Uji
Untuk menguji tingkat otoriter dengan skala ordinal digunakan uji Kruskal Wallis

Sumber: Statistik Nonparametrik Untuk Ilmu-ilmu social (Sidney Siegel : 1985)

Ranking Keoteriteran Ketiga Kelompok Pendidik

Guru Berorientasi Pengajaran	Guru Berorientasi Administrasi	Administrator
4	2	7
9	8	13
3	10	14
1	11	12
5	6
R1=22	R2=37	R3=46

4.      Merujuk Ke tabel O

Nilai  adalah 5, 5, 4 dengan H ≥ 6,4 memiliki kemugkinan kemunculan di bawah H0,

sebesar P < 0,049.

5.      Keputusan : P < α=0,05 maka Tolak H0.

6.      Kesimpulan

Dengan tingkat kepercayaan 95% dan berdasarkan sampel yang ada, dapat dinyatakan bahwa tidak terdapat cukup bukti untuk menyatakan bahwa tidak ada perbedaan skor rata-rata sifat otoriter yang terdapat pada setiap kelompok pendidik yang ditunjuk. Artinya, perbedaan orientasi guru yang sebaga pengajar saja, guru sebagai administrator, dan orang yang hanya sebagai administrator sekolah berpengaruh signifikan terhadap sifat otoriternya di sekolah.

B.     Contoh diluar sampel kecil

Dilakukan penelitian untuk mengetahui perbedaan prestasi kerja pegawai berdasarkan jarak rumah. Jarak rumah ini dikelompokkan menjadi 3 yaitu:

Dekat (I)          : (0-5) km

Sedang (II)      : 6-10 km

Jauh (III)         : >10 km

Penelitian dilakukan pada tiga kelompok sampel yang diambil secara random. Jumlah pegawai pada sampel  I=11, sampel II=12, dan sampel III=10. Pengukuran dilakukan dengan instrumen prestasi. Data hasil penelitian ditunjukkan pada tablel berikut:

PRESTASI KERJA PEGAWAI BERDASARKAN JARAK RUMAH DENGAN KANTOR

Jarak Rumah Dengan Kantor
I	II	III
78 92 68 56 77 82 81 62 91 53 85	82 89 72 57 62 75 64 77 84 56 88 69	69 79 65 60 71 74 83 56 59 90

Sumber: Makalah Statistika Pengujian Hipotesis (Riyan Rinto, 2015)

Berdasarkan data tersebut, apakah dapat disimpulkan bahwa terdapat perbedaan prestasi kerja pegawai berdasarkan jarak rumah dengan jarak kantor? (Ujilah dengan α=5%)

Jawab

1.      Hipotesis

H₀: Tidak terdapat perbedaan prestasi kerja pegawai berdasarkan jarak rumah dengan jarak kantor.

H₁: Terdapat perbedaan prestasi kerja pegawai berdasarkan jarak rumah dengan jarak kantor.

2.      Taraf siginifikansi α = 5%

3.      Statistik uji

	I	Ranking	II	Ranking	III	Ranking
	78	21	82	24.5	69	13.5
	92	33	89	30	79	22
	68	12	72	16	65	11
	56	3	57	19.5	60	7
	77	19.5	62	8.5	71	15
	82	24.5	75	18	74	17
	81	23	64	10	83	26
	62	8.5	77	19.5	56	3
	91	32	84	27	59	6
	53	1	56	3	90	31
	85	28	88	29
			69	13.5
nj	11		12		10
Rj	205.5		204		151.5
Rj2	42230.25		41616		22952.25
	3839.114		3468		2295.225

a.      Penghitungan tanpa faktor koreksi

b.      Penghitungan dengan faktor koreksi

Observasi berangka sama	t	t3-t
56	3	24
62	2	6
69	2	6
77	2	6
82	2	6

Faktor koreksi = 0.999

                           = 0.6997

4. Dengan α = 5% dan db = 3-1 = 2 didapat H_tabel = 5.991 (menurut tabel )

Keputusan: karena H < H_tabel, maka H₀ tidak ditolak.

5. Kesimpulan:

Dengan tingkat kepercayaan 95% dan berdasarkan sampel yang ada, dapat dinyatakan bahwa tidak terdapat cukup bukti untuk menyatakan prestasi kerja pegawai berdasarkan jarak rumah dengan jarak kantor berbeda. Artinya, perbedaan jarak rumah dengan jarak kantor tidak berpengaruh signifikan terhadap prestasi kerja pegawai.

DAFTAR PUSTAKA

Siegel, S. (1985). Statistik Nonparametrik untuk Ilmu-ilmu Sosial. Diterjemahkan oleh : Suyuti, Zanzawi, dan Simatupang, Landung. Jakarta: Gramedia Pustaka Utama.

Nasution, D. dkk. (2014). MODUL STATISTIK NONPARAMETRIK. Jakarta:-.