HIMPUNAN BAGIAN ATAU SUBSET
Himpunan Bagian (Subset)
·
Himpunan A
dikatakan himpunan bagian dari himpunan B
jika dan hanya jika setiap elemen A
merupakan elemen dari B.
·
Dalam hal ini, B
dikatakan superset dari A.
·
Notasi: A Í B
·
Diagram Venn:
Contoh 8.
(i) { 1, 2, 3} Í {1, 2, 3, 4, 5}
(ii) {1, 2, 3} Í {1, 2, 3}
(iii) N Z R C
(iv) Jika A = { (x, y) | x + y
< 4, x ³, y
³ 0 } dan
B
= { (x, y) | 2x + y < 4, x ³ 0 dan y ³ 0 }, maka B
A.
TEOREMA 1. Untuk sembarang
himpunan A berlaku hal-hal sebagai berikut:
(a) A adalah himpunan bagian dari A itu sendiri (yaitu, A A).
(b) Himpunan
kosong merupakan himpunan bagian dari A
( A).
(c) Jika A Í B dan B Í C, maka A Í C
·
A dan A A, maka dan A disebut himpunan bagian tak sebenarnya (improper subset) dari himpunan A.
Contoh: A = {1, 2, 3}, maka {1, 2, 3} dan Æ adalah improper subset dari A.
·
A Í B berbeda
dengan A Ì B
(i)
A Ì B : A adalah himpunan
bagian dari B tetapi A ¹ B.
A
adalah himpunan bagian sebenarnya (proper
subset) dari B.
Contoh: {1} dan {2, 3} adalah proper
subset dari {1, 2, 3}
(ii)
A Í B : digunakan untuk menyatakan bahwa A adalah himpunan bagian (subset) dari B
yang memungkinkan A = B.
Himpunan yang Sama
·
A = B jika dan hanya jika setiap elemen A merupakan elemen B dan sebaliknya setiap elemen B
merupakan elemen A.
·
A = B jika A adalah himpunan bagian
dari B dan B adalah himpunan bagian dari A. Jika tidak
demikian, maka A ¹ B.
·
Notasi : A
= B
« A Í B dan B Í A
Contoh
9.
(i)
Jika A = { 0, 1 } dan B = { x | x (x – 1) = 0 }, maka A = B
(ii)
Jika A = { 3, 5, 8, 5 } dan B = {5, 3, 8 }, maka A = B
(iii) Jika A = { 3, 5, 8, 5 } dan B
= {3, 8}, maka A ¹ B
Untuk tiga buah himpunan, A, B,
dan C berlaku aksioma berikut:
(a) A = A, B = B,
dan C = C
(b) jika A = B,
maka B = A
(c) jika A = B
dan B = C, maka A = C
Himpunan yang Ekivalen
·
Himpunan A
dikatakan ekivalen dengan himpunan B
jika dan hanya jika kardinal dari kedua himpunan tersebut sama.
·
Notasi : A
~ B
« ½A½ = ½B½
Contoh
10.
Misalkan A
= { 1, 3, 5, 7 } dan B = { a, b,
c, d }, maka A ~ B
sebab ½A½ = ½B½ = 4
Himpunan Saling Lepas
·
Dua himpunan A dan B dikatakan saling lepas (disjoint) jika keduanya tidak memiliki
elemen yang sama.
·
Notasi : A
// B
·
Diagram Venn:
Contoh
11.
Jika A
= { x | x P, x < 8 } dan B = { 10, 20, 30, ... }, maka A // B.
Himpunan Kuasa
·
Himpunan kuasa (power set) dari himpunan A adalah
suatu himpunan yang elemennya merupakan semua himpunan bagian dari A,
termasuk himpunan kosong dan himpunan A sendiri.
·
Notasi : P(A) atau 2A
·
Jika ½A½ = m, maka ½P(A)½ = 2m.
Contoh 12.
Jika A
= { 1, 2 }, maka P(A) = { , { 1 }, { 2 }, { 1, 2 }}
Contoh 13.
Himpunan kuasa dari
himpunan kosong adalah P(Æ) = {Æ}, dan himpunan kuasa dari himpunan {Æ} adalah P({Æ}) = {Æ, {Æ}}.
Komentar
Posting Komentar