PERAMPATAN OPERASI HIMPUNAN, HUKUM-HUKUM HIMPUNAN, DAN PRINSIP DUALITAS
Perampatan Operasi Himpunan
    |
Contoh 22.
(i) A (B1B2 ... Bn)
= (A B1)
(A B2)
... (A Bn)
(ii) Misalkan A = {1,
2}, B
= {a, b}, dan C = {a, b}, maka
A ´ B ´ C = {(1, a, a), (1, a, b), (1, b, a), (1, b, b), (2, a, a), (2, a, b), (2, b, a), (2, b, b) }
Hukum-hukum Himpunan
|
1. Hukum identitas:
A = A
A U = A
|
2. Hukum null/dominasi:
A =
A U = U
|
|
3. Hukum komplemen:
A
 = U
A
= |
4. Hukum idempoten:
A A = A
A A = A
|
|
5. Hukum involusi:
 = A |
6. Hukum penyerapan (absorpsi):
A (A B) = A
A (A B) = A
|
|
7. Hukum komutatif:
A B = B A
A B = B A
|
8. Hukum asosiatif:
A (B C) = (A B) C
A (B C) = (A B) C
|
|
9. Hukum distributif:
A (B C) = (A B) (A C)
A (B C) = (A B) (A C)
|
10. Hukum De Morgan:
 =   =  |
|
11.
Hukum 0/1
 = U = Æ |
 |
Prinsip Dualitas
· Prinsip dualitas:
dua konsep yang berbeda dapat dipertukarkan namun tetap memberikan jawaban yang
benar.
Contoh: AS à kemudi mobil di kiri depan
Inggris (juga Indonesia) à kemudi mobil di kanan depan
Peraturan:
(a) di Amerika Serikat,
- mobil harus berjalan di bagian kanan
jalan,
-
pada jalan yang berlajur banyak, lajur kiri
untuk mendahului,
-
bila lampu merah menyala, mobil belok kanan
boleh langsung
(b) di Inggris,
-
mobil harus berjalan di bagian kiri jalan,
-
pada jalur yang berlajur banyak, lajur kanan
untuk mendahului,
-
bila lampu merah menyala, mobil belok kiri
boleh langsung
Prinsip dualitas:
Konsep kiri dan kanan dapat
dipertukarkan pada kedua negara tersebut sehingga peraturan yang berlaku di
Amerika Serikat menjadi berlaku pula di Inggris.
·
(Prinsip Dualitas pada Himpunan). Misalkan S adalah suatu kesamaan (identity) yang melibatkan himpunan dan operasi-operasi seperti ,
, dan komplemen. Jika S* diperoleh dari S dengan mengganti ® , ® , ® U, U ® ,
sedangkan komplemen dibiarkan seperti semula, maka kesamaan S* juga benar dan disebut
dual dari kesamaan S.
|
1. Hukum identitas:
A = A
|
Dualnya:
A U = A
|
|
2. Hukum null/dominasi:
A =
|
Dualnya:
A U = U
|
|
3. Hukum komplemen:
A
= U |
Dualnya:
A
= |
|
4. Hukum idempoten:
A A = A
|
Dualnya:
A A = A
|
|
5. Hukum penyerapan:
A (A B) = A
|
Dualnya:
A (A B) = A
|
|
6. Hukum komutatif:
A B = B A
|
Dualnya:
A B = B A
|
|
7. Hukum asosiatif:
A (B C) = (A B) C
|
Dualnya:
A (B C) = (A B) C
|
|
8. Hukum distributif:
A (B C)=(A B) (A C)
|
Dualnya:
A (B C) = (A B) (A C)
|
|
9. Hukum De Morgan:
=   |
Dualnya:
= |
|
10. Hukum 0/1
= U |
Dualnya:
= Æ |
Contoh
23.
Dual dari (A B) (A ) = A adalah
) = A adalah
(A
B) (A ) = A.
) = A.
Prinsip Inklusi-Eksklusi
Untuk dua himpunan A dan B:
½A È B½ = ½A½ + ½B½ – ½A Ç B½
½A Å B½ = ½A½ +½B½ – 2½A Ç B½
Contoh 24. Berapa banyaknya bilangan bulat antara 1 dan
100 yang habis dibagi 3 atau 5?
Penyelesaian:
A = himpunan bilangan bulat yang habis dibagi 3,
B = himpunan bilangan bulat yang habis dibagi 5,
A Ç B = himpunan bilangan bulat
yang habis dibagi 3 dan 5 (yaitu himpunan bilangan bulat yang habis dibagi oleh
KPK – Kelipatan Persekutuan Terkecil – dari 3 dan 5, yaitu 15),
yang ditanyakan adalah ½A È B½.
½A½ = ë100/3û = 33,
½B½ = ë100/5û = 20,
½A Ç B½ = ë100/15û = 6
½A È B½ = ½A½ + ½B½ – ½A Ç B½ = 33 + 20 – 6 = 47
Jadi, ada 47 buah bilangan yang habis dibagi 3 atau 5.
Untuk tiga buah himpunan A, B,
dan C, berlaku
½A È B È C½ = ½A½ + ½B½ + ½C½ – ½A Ç B½ –
½A Ç C½ – ½B Ç C½ + ½A Ç B Ç C½
Untuk himpunan A1,
A2, …, Ar, berlaku:
½A1 È A2 È … È Ar½ = 
½Ai½ – 
½Ai Ç Aj½ +
½Ai½ – ½Ai Ç Aj½ + 
½Ai Ç Aj Ç Ak½ + … +
(-1)r-1
½A1 Ç A2 Ç … Ç Ar½
Partisi
·
Partisi dari sebuah
himpunan A adalah sekumpulan himpunan
bagian tidak kosong A1, A2, … dari A sedemikian sehingga:
(a)
A1 È A2 È … = A, dan
(b)
Ai Ç Aj = Æ untuk i ¹ j
Contoh
25.
Misalkan A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,
8}, maka { {1}, {2, 3, 4}, {7, 8}, {5, 6} } adalah partisi A.
Komentar
Posting Komentar